Nee dat mag niet als deze werkelijk in uw tuin uitloopt. Voor zover ik het kan zien is de hemelwaterafvoer op een buis aangesloten maar waar loopt deze heen. Gezien waar de heg heeft gestaan vraag ik mij af of de plaats waar die buis loopt uw tuin tuin is omdat de heg mogelijk op de erfscheiding heeft gestaan. Loost de pijp echt op uw tuin ga dan even met de buurman praten en vertel hem het probleem, mogelijk is deze zich van geen kwaad bewust.

Regenwater moet je op je eigen tuin afvoeren. Maar je mag best als buren onderling een andere afspraak maken.
Als daar een grote haag stond, dan zou die afvoer ook geen probleem moeten zijn. Maar nu je die haag weggehaald hebt en ik neem aan dat je een schutting wilt plaatsen, dan kan zo niet meer. 
En als je ziet naar de staat van de schutting van de buren, dan is een nieuwe schutting op de erfrens geen luxe. 
Jullie zijn buren, dus dan moet je toch even overleggen wat je wilt doen op of bij de erfgrens.

De afvoer van de twee dakgoten komen onder de grond samen tot één afvoerbuis, welke geloost wordt onder de schutting. De schutting wordt vervangen.

Mede gelet op uw reactie, waariom zou het niet mogen m.a.w. naar mijn mening mag dat. Een deel opvangen via een regenton voor gebruik als bevloerinig tuin in droge ere tijden zou ik de buurman aanbevelen.

Ps. Als de gezamenlijkke aansluiting zelfs onder uw erf zou liggen zou dat mogen mits wel in overleg met u.

De waterafvoerbuis aangelegd tot de erfgrens met uw tuin om het hemelwater naar uw tuin af te voeren, dat mag uiteraard niet en is zeker een 'vriendelijk' gesprekje met uw buur waard.
Hij zal dit moeten veranderen en het water direct bij zijn schuur de vrije uitloop moeten geven zodat het in zijn eigen tuin kan wegzakken in de grond.

Zo te zien ligt de tuin van de buur een stuk hoger dan uw 'kuil'.  ;-))
Als u toch een nieuwe schutting gaat plaatsen zet dan ook gelijk een randje met betonnen opsluitbanden die u 10 cm boven het tuinniveau van de buur laat uitsteken en het afwateringsprobleem richting uw tuin is dan denkelijk opgelost.
Die opsluitbandjes kosten bij de bouwmarkt maar een paar euro, zijn 1 mtr. lang en 20cm. hoog en in zwart, grijs en roodachtig te verkrijgen.

Succes !

Vraag de buurman, uiteraard in zijn eigen tuin, op voldoende afstand van de erfscheiding een "grintput" aan te leggen en daarin te lozen.  En inderdaad, als hij verstandig is, eerst op te vangen in één regenton of, gezien de grootte van het dak  en de twee afvoerpijpen, twee regentonnen en dat met b.v. een tuinpomp voor besproeien te gebruiken, zoals al opgemerkt.  Op deze wijze heb ik mijn carport van een waterafvoer (met opvang van ca. 160 liter in een ton) voorzien en niemand heeft enig ongemak van deze constructie.
Ter toelichting: de grindput is in mijn geval een drietal, vlak bijelkaar gemaakte, vrij diepe gaten van zo'n 7 cm per stuk in doorsnede (met grondboor van ca €15,-- gemaakt) en gevuld met grof grint waarbij de afvoer van de carport dan loost. Het water uit de ton gebruik ik om de tuin te besproeien en om ramen mee schoon te maken omdat het kalkvrij, steeploos opdrogend water is.  En nog even dit, als hij regentonnen zou plaatsen, bind dan een oude nylonkous om de invoer van het regenwater om vuil op te vangen;  ik kan verzekeren dat er echt veel vuil van een dak afkomt en vervang de kous meestal twee keer per jaar, want na verloop van tijd zit die echt vol met troep

Ik heb de foto uitvergroot maar de buis in kwestie eindigd niet in de tuin en loost het hemelwater ook niet in de tuin want als dat zo zou zijn was de grond voor een veel groter deel weggespoeld. Ook lijkt het op de foto dat de buis onder de schutting is geplaatst en er voldoende afstand tussen de schutting en de voormalige haag is gehouden. Of het wettelijk toegestaan is hangt van de erfgrens af maar gezien de afstand tussen de schutting en de voormalige haag wordt die erfgrens niet overschreden.